#16 Das 16. Fensterl des MINT Adventkalenders

Wie viele verschiedene Stellungen hat ein Rubik's Cube

Der Rubik's Cube, bei uns Zauberwürfel genannt, begeistert seit den 1970er Jahren Kinder, Erwachsene, Mathematiker. 

Der originale Würfel ist ein 3x3x3 Würfel. Mittlerweile gibt es verschiedene Formen und Größen, Weltmeisterschaften und Weltrekorde. 

Heute wollen wir uns aber mit der Mathematik hinter dem Würfel befassen. 

Der 3x3x3 Würfel hat 6 Seiten, jede Seite hat 9 Felder. Es gibt 6 Farben: rot, weiß, gelb, orange, blau, gerün. 

Wenn wir ihn verdrehen, dann entsteht ein neues Muster. Wie viele Muster kann ich eigentlich erzeugen? 

Schauen wir uns den Würfel genau an: In der Mitte der Seiten haben wir einen Stein, der immer fix ist. Wir müssen also die beweglichen betrachten:

 

Wir nehmen immer an, dass nur 1 Stein bewegt wird und alle anderen gleich bleiben. 

Der Würfel hat 8 Ecken. Der erste Eckstein kann alle 8 Positionen einnehmen, der zweite nur mehr 7 (sonst hätten wir wieder eine gleiche Stellung) , der 3. nur mehr 6 usw. .. Dadurch entsteht eine Fakultät 8!  (=8*7*6*5*4*3*2*1)

Die Eckwürfel haben auch 3 Seiten, also Orientierungen, in denen sie stehen können. Also 3 hoch8

Die Kantensteine, davon gibt es 12, sie können genau wie die Ecken an 12 Poritionen sein. Also 12!

Sie haben 2 Seiten und können in 2 Orientierungen stehen. Also 2hoch 12. 

 

Jetzt ergeben sich aber noch ein paar Einschränkungen, die aus der Bauart des Würfels entstehen:

1. 7 der 8 Eckwürfel lassen sich nach Belieben orientieren, die Orientierung des 8. ist erzwungen.  (3)

2.  11 der 12 Kantensteine können beliebig steehn, der 12. ist erzwungen.  (2)

3. Man kann weder 2 Eckwürfel alleine noch 2 Kanten allein vertauschen. Es passieren immer paarweise Vertauschungen. Diese Zahl muss immer eine Gerade sein (2)

Jetzt können wir schon berechnen:

G (Anzahl der Stellungen) =( 8! *3hoch8 * 12! *2hoch12 )/ (3*2*2) = 43.252.003.274.489.856.000 = 4,3*10hoch19

WOW, das ist eine gewaltige Zahl. 43 Quadrillionen. 

Stellen wir uns das mal anders vor: Nehmen wir an, wir stellen jede Sekunde eine neue Stellung des Würfels her, dann würden wir 1,3 Milliarden Jahre brauchen um alle Positionen einmal hergestellt zu haben. 

Die ersten Dinosaurier traten in der Trias, vor 250 Millionen Jahren auf. Vor 1,2 Milliarden Jahren im sogenannten Stenium gab es vor allem Pilzartige Organismen und Mikroben auf der Welt, die ersten Urkontinente entstanden. So weit müssten wir also zurückreisen, wenn wir sekündlich eine Stellung des Würfels bauen würden. 

 

 

 

 

 

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